Teoría de Límite

Course: Análisis matemático I

Date: February 12, 2023 4:50 PM Status: Done Year: 2021

Teoría del Límite

La teoría del límite es un concepto fundamental del cálculo diferencial e integral. El límite de una función se refiere a la cercanía entre un valor y un punto. La definición formal de límite se puede expresar como sigue:

Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo abierto que contiene a $a$, excepto posiblemente en $a$ mismo. Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$ es $L$, y escribimos ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$, si para cada número $ϵ>0$ existe un número $\delta >0$ tal que si $0<|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-L|<ϵ$.

Asíntotas horizontal y vertical

Las asíntotas son líneas rectas que se acercan cada vez más a la gráfica de una función, pero nunca la tocan. Una asíntota horizontal se presenta cuando el límite de la función tiende a un valor constante cuando $x$ tiende a infinito o menos infinito. Por otro lado, una asíntota vertical se presenta cuando el límite de la función tiende a infinito o menos infinito cuando $x$ se acerca a un valor constante.

Teorema Límites Trigonométricos especiales

El teorema de los límites trigonométricos especiales se refiere a los límites de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente cuando el argumento tiende a cero. Los límites son:

• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$
• ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$

Propiedades de los Límites

Las propiedades de los límites son:

• El límite de una suma es la suma de los límites: ${\lim }_{x\to a}[f(x)+g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)+{\lim }_{x\to a}g(x)$.
• El límite de una diferencia es la diferencia de los límites: ${\lim }_{x\to a}[f(x)-g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)-{\lim }_{x\to a}g(x)$.
• El límite de un producto es el producto de los límites: ${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)\cdot {\lim }_{x\to a}g(x)$.
• El límite de un cociente es el cociente de los límites: ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)}$, siempre y cuando ${\lim }_{x\to a}g(x)\ne 0$.
• El límite de una función compuesta es la función compuesta de los límites: ${\lim }_{x\to a}f(g(x))=f({\lim }_{x\to a}g(x))$.

Teorema del Sandwich

El teorema del sandwich, también conocido como teorema del emparedado, establece que si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ para todo $x$ en un intervalo abierto que contiene a $a$, excepto posiblemente en $a$ mismo, y si ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}h(x)=L$, entonces ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$.