Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:11 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se definen las coordenadas cilíndricas?

  Se llama $r$ a la norma del vector posición de $P^{\prime }$, proyección de $P$ en el plano $XOY$, $\phi$ al ángulo positivo del eje $\overrightarrow{OX}$ medido en sentido anti horario de $z$

  $$\begin{gathered} 0\le r\le \infty \\ 0\le \phi \le 2\pi \\ -\infty <z<\infty \end{gathered}$$

  

  Quedan definidas las coordenadas polares como la función que realiza el siguiente mapeo

  • $z$ continúa siendo dicho valor, no se transforma.
  $$\begin{gathered} g:[0,\infty )\times [0,2\pi ]\times (-\infty ,\infty )\subset {\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3 \\ (r,\phi ,z)\mapsto (r\cos \phi ,r\sin \phi ,z) \end{gathered}$$

  

• Cómo es la aplicación de coordenadas cilíndricas con respecto al eje OZ?

  • También, podemos definir esta aplicación con respecto a los otros ejes. Proyectándolo en distintos planos
  $$J(r,\phi ,z)={\left|\begin{array}{ccc}{x}_r& x_{\phi }& x_z\\ y_r& y_{\phi }& y_z\\ z_r& z_{\phi }& z_Z\end{array}\right|}_P=\left|\begin{array}{ccc}\cos \phi & -r\sin \phi & 0\\ \sin \phi & r\cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=r$$
  • Derivo cada componente con respecto a las mismas componentes.

  Luego, $J=r$ pues para la transformación $r\ge 0$ (no pongo el valor absoluto) entonces podemos plantear las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas

  $${\iiint }_{D=g(D^{\prime })}f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{D^{\prime }}f(r\cos \phi ,r\sin \phi ,z)rdrd\phi dz$$

  

  • Existe una relación entre las coordenadas rectangulares y cilíndricas. Dado un punto en cualquiera de las coordenadas, puedo transformarla al otro tipo.