Ecuaciones Diferenciales

Análisis matemático II

• Cómo se define una ecuación diferencial?

  Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. (E.D.).

  $$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t)$$

• Qué es una ecuación diferencial ordinaria?

  Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a “y” como variable dependiente y a “x” como variable independiente.

  Se acostumbra expresar a en la forma

  $$F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)}=0$$

• Cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales?

  Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.

  • Según el orden: Corresponde a la derivada de mayor orden que hay en la ecuación
  • Según el grado: Es el exponente de la derivada de mayor orden una vez que la ecuación se ha escrito en forma racional y entera.

• Qué es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal?

  Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si se puede escribir de la forma

  $$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{(1)}+a_0(x)y=g(x)$$

  donde los coeficientes $a_i$ para $i=0,1,2,\dots ,n$ son funciones de x con $a_n(x)\ne 0$

• Definición de función solución de una ED

  Definición Se dice que una función f con dominio en un intervalo I, es solución de una ED en el Intervalo $I$ si la función satisface la ED en dicho intervalo.

• Teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales

  Sea $R$ una región rectangular en el plano $xy$, definida por $R=\{(x,y)/a\le x\le b,c\le y\le d\}$ que contiene al punto $(x_0,y_0)$ en su interior.

  Si $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en $R$, entonces existe un intervalo $I$ con centro en $x_0$ y una única función $y=y(x)$ definida en $I$ que satisface el problema del valor inicial

  $$y^{\prime }=f(x,y)\wedge y(x_0)=y_0$$

Ecuaciones diferenciales de variables separables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciables lineales