Distribución muestral de la diferencia de medias

Se tienen dos poblaciones, la primera con media ${\mu }_1$ y varianza ${\sigma }_1^2$ y la segunda con media ${\mu }_2$ y varianza ${\sigma }_2^2$. Si el estadístico $\overline{X_1}$, representa la media de una muestra de tamaño $n_1$ seleccionada de la primera población, y que el estadístico $\overline{X_2}$, representa la media de una población de tamaño $n_2$ seleccionada de la segunda población:

• Si se sacan al azar muestras independientes de tamaños $n_1$ y $n_2$ de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias ${\mu }_1$ y ${\mu }_2$ y varianzas ${\sigma }_1^2$ y ${\sigma }_2^2$ respectivamente, entonces la distribución muestral de la diferencia de medias $\overline{X_1}-\overline{X_2}$ está distribuida de forma aproximadamente normal con medias y varianzas: ${\mu }_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}={\mu }_1-{\mu }_2$ ${\sigma }_{\overline{X_1}-\overline{X_2}}^2=\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}$

De aquí que $Z=\frac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$ es aproximadamente una variable normal estándar siempre y cuando $n_1\ge 30$ y $n_2\ge 30$ o las dos poblaciones de las que se extraen son aproximadamente normal (de forma gráfica por ejemplo).

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