Integrales dobles en coordenadas rectangulares

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:08 PM Status: Done Year: 2022

• Defina Integral Doble a través de la suma de Riemann

  Sea $R=[a,b]\times [\alpha ,\beta ]$ un rectángulo del plano $f:R^2\to R$ función acotada en $R$

  Sea $\pi$ una partición de $R$ que determina $n=pq$ rectángulos parciales $R_k=\forall k=1,\dots ,n$ con areas $A(R_k)$

  

  Se denomina Suma de Riemann de la función f relativa a la partición $\pi$ de $R$

  $$\sum _{k=1}^{n=pq}f(P_k)A(R_k)$$

  Es la suma de todos los rectángulos $R_k=\forall k=1,\dots ,n$ del producto de la función en un punto arbitrario del mismo por el area del rectángulo parcial

  Si existe el número real $I$ , lo llamamos Integral Doble de Riemann de f en R

  $$I=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n=pq}f(P_k)A(R_k)={\iint }_{R}f(x,y)dxdy$$

• Defina Integral Doble

  Si $f$ está definida en una región acotada y cerrada $R$ del plano xy, entonces la integral doble de $f$ sobre $R$ viene dada por

  $${\iint }_{R}f(x,y)dxdy=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n=pq}f(P_k)A(R_k)$$

  Cuando el límite existe

• Teorema sobre la integrabilidad de las funciones continuas

  Toda función real de dos variables reales continua en un rectángulo de $R^2$ es integrable en él.

  

• Defina las propiedades de las integrales dobles

  1. Linealidad

     Si $f$ y $g$ son funciones continuas en D (cerrada y acotada), a y b son números reales. Entonces existe

     $${\iint }_D(af+bg)=a\iint f(x,y)dxdy+b\iint g(x,y)dxdy$$

  2. Positividad

     Si $\forall P\in D,f(P)\ge 0\Rightarrow \iint f(x,y)dxdy\ge 0$

  3. Monotonía

     Si $f$ y $g$ son funciones continuas en D (cerrada y acotada), tales que

     $$f(P)\ge g(P)\Rightarrow {\iint }_{D}f(P)dxdy\ge {\iint }_{D}g(P)dxdy$$

  4. Aditividad

     Si $f$ es continua en $D$ (cerrada y acotada) y $D_1\cup D_2=D$ disyuntos. Entonces

     $${\iint }_{D}f(P)dxdy={\iint }_{D_1}f(P)dxdy+{\iint }_{D_2}f(P)dxdy$$

• Defina el cálculo de las integrales dobles mediante Integral Iterada o Sucesiva

  Una Integral Iterada o Sucesiva es un tipo especial de integral definida en la que el integrando es también una integral definida.

  $${\int }_a^b\left[{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dy\right]dx={\int }_a^b{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dydx$$

  O también

  $${\int }_c^d\left[{\int }_{\delta (y)}^{\gamma (x)}f(x,y)dx\right]dy={\int }_c^d{\int }_{\delta (y)}^{\gamma (x)}f(x,y)dxdy$$

  La integral que calculamos primero pueden ser unciones solo de la variable que se integra al último.

  • Para que la integral iterada exista, la función interna debe ser continua.

• Defina región simple en ${\mathbb{R}}^2$

  Una región D contenida en $R^2$ es simple sii toda paralela a los ejes coordenados intercepta a la frontera de D en a los sumo dos puntos, o en los puntos del segmento rectilíneo de la frontera.

  

• Enuncie el Teorema de Fubini

  Sea $f:D\to R$ continua en $D=\left\{(x,y)\in R^2,a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x)\right\}$

  $\alpha :[a,b]\to R$ y $\beta :[a,b]\to R$ funciones continuas en [a,b]

  Entonces f es integrable en D, y vale la igualdad

  $${\iint }_{D}f(P)dxdy={\int }_a^b{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dydx$$

  

  Si $D=\left\{(x,y)\in R^2,c\le y\le d,\phi (y)\le x\le \varphi (y)\right\}$

  $\phi :[c,d]\to R$ y $\varphi :[c,d]\to R$ funciones continuas en [c,d]

  Entonces f es integrable en D, y vale la igualdad

  $${\iint }_{D}f(P)dxdy={\int }_c^d{\int }_{\phi (y)}^{\varphi (y)}f(x,y)dydx$$

  

  De los dos resultados anteriores, tenemos que:

  $${\iint }_{D}f(P)dxdy={\int }_c^d{\int }_{\phi (y)}^{\varphi (y)}f(x,y)dydx={\int }_a^b{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)dydx$$

• Mencione las aplicaciones de las integrales dobles

  1. Calculo de Ares de Regiones Planas

     $$\text{Aˊrea}(D)={\iint }_{D}dxdy$$

  2. Cálculo del volumen de un sólido

     Dado un sólido T que se proyecta en una región plana

     $$D=\left\{(x,y)\in R^2,a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x)\right\}$$

     y está inferiormente limitado por una superficie $z=h(x,y)$ y speriormente por $z=g(x,y)$.

     $\alpha$ y $\beta$ continuas en [a,b], h y g continuas en D.

     $$\text{Vol}(T)={\iint }_D[g(x,y)-h(x,y)]dxdy$$