Isomorfismos

Course: Algebra II

Date: February 12, 2023 5:31 PM Status: Done Year: 2021

Transformación inyectia y sobreyectiva

• Transformación inyectiva: Una transformación es inyectiva si cada elemento del codominio tiene a lo sumo un elemento del dominio que se asigna a él. En otras palabras, una transformación es inyectiva si dos elementos diferentes del dominio no se asignan al mismo elemento del codominio. Matemáticamente, una transformación $f:X\to Y$ es inyectiva si para todo $x_1,x_2\in X$, si $f(x_1)=f(x_2)$, entonces $x_1=x_2$. Una forma equivalente de expresar esto es que si $x_1\ne x_2$, entonces $f(x_1)\ne f(x_2)$.
• Transformación sobreyectiva: Una transformación es sobreyectiva si cada elemento del codominio tiene al menos un elemento del dominio que se asigna a él. En otras palabras, una transformación es sobreyectiva si no hay elementos en el codominio que no se asignen a ningún elemento del dominio. Matemáticamente, una transformación $f:X\to Y$ es sobreyectiva si para todo $y\in Y$, existe al menos un $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

Definición de isomorfismos

Un isomorfismo es una función biyectiva entre dos estructuras algebraicas que preserva la estructura y las propiedades de las operaciones definidas en las estructuras. Formalmente, si $A$ y $B$ son dos estructuras algebraicas, como grupos, anillos o espacios vectoriales, entonces una función $f:A\to B$ es un isomorfismo si cumple las siguientes condiciones:

• $f$ es biyectiva, es decir, cada elemento de $A$ se asigna a un único elemento de $B$, y cada elemento de $B$ se asigna a un único elemento de $A$.

• $f$ preserva la estructura algebraica de $A$ y $B$, es decir, para todo $x,y\in A$, se cumple que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(xy)=f(x)f(y)$, y para todo $\alpha \in \mathbb{F}$, donde $\mathbb{F}$ es el campo subyacente de $A$ y $B$, se cumple que $f(\alpha x)=\alpha f(x)$.

• $f^{-1}$ es también una función biyectiva que preserva la estructura algebraica de $A$ y $B$, es decir, para todo $x,y\in B$, se cumple que $f^{-1}(x+y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y)$ y $f^{-1}(xy)=f^{-1}(x)f^{-1}(y)$, y para todo $\alpha \in \mathbb{F}$, se cumple que $f^{-1}(\alpha x)=\alpha f^{-1}(x)$.

• Teorema condición Necesaria y suficiente (inyectiva - sobreyectiva)

• Definición de endomorfismo u operador lineal Un endomorfismo, también conocido como operador lineal, es una transformación lineal que mapea un espacio vectorial en sí mismo. Formalmente, si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, entonces un endomorfismo de $V$ es una función lineal $T:V\to V$ que asigna a cada vector $\vec{v}\in V$ otro vector $T(\vec{v})\in V$.

• Teorema condición necesaria y suficiente para isomorfismo