Regla de Simpson un tercio de Aplicación Múltiple

Regla de Simpson 1/3 de Aplicación Múltiple

La regla de Simpson de aplicación múltiple es una variante de la regla de Simpson que se utiliza cuando el intervalo de integración se divide en múltiples partes iguales. En la regla de Simpson de aplicación múltiple, se aplica la regla de Simpson 1/3 a cada subintervalo y se suman los resultados para obtener una aproximación de la integral en todo el intervalo. La fórmula para la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple es la siguiente:

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$

Donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo de integración, $h$ es la longitud de cada subintervalo, $n$ es el número de subintervalos, y $f(x)$ es la función a integrar. Los puntos $x_0$, $x_n$, $x_1$, $x_{n-1}$, $x_2$, $x_{n-2}$, etc., son los puntos extremos y medios de cada subintervalo. La regla de Simpson de aplicación múltiple es más precisa que la regla de Simpson 1/3 simple, ya que divide el intervalo de integración en más subintervalos.

Para calcular el error de truncamiento de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple, se puede utilizar la siguiente fórmula:

$E_s=-\frac{1}{180}(b-a){\left(\frac{h}{2}\right)}^4{f}^{(4)}(\xi )$

Donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo de integración, $h$ es la longitud de cada subintervalo, $n$ es el número de subintervalos, y $f(x)$ es la función a integrar. Los puntos $x_0$, $x_n$, $x_1$, $x_{n-1}$, $x_2$, $x_{n-2}$, etc., son los puntos extremos y medios de cada subintervalo. $f^{(4)}(\xi )$ es la cuarta derivada de la función a integrar evaluada en algún punto $\xi$ dentro del intervalo de integración $[a,b]$. El error de truncamiento de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple es proporcional a la cuarta potencia del tamaño del subintervalo, y es inversamente proporcional a la cuarta derivada de la función a integrar. Por lo tanto, el error se puede reducir al disminuir el tamaño del subintervalo o al utilizar una función con una cuarta derivada pequeña.