Distribución Normal

• También conocida con el nombre de distribución “gaussiana” o “campana de Gauss”

Cómo se define una distribución normal? ?

Distribución Normal

La variable aleatoria $X$ se dice que tiene una distribución Normal con parámetros $\mu$ $(\infty <\mu \infty )$ y $\sigma$ $(\sigma >0)$, $(X\sim N(\mu ,{\sigma }^2))$ si y solo si $f_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

Teorema

La media y la varianza de una variable aleatoria con función de distribución normal está dada por $E(X)=\mu$ y $Var(X)={\sigma }^2$

Cuales son las propiedades de la curva normal? ?

Propiedades de la curva normal

1. La forma de la gráfica de $f$ tiene la conocida forma de una campana. Es simétrica con respecto a la recta $x=\mu$
2. Cuando $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 0$ asintóticamente. O sea, el eje $x$ es una asíntota horizontal.
3. Tiene un máximo absoluto en $(\mu ,f_x(\mu ))$
4. Los puntos de inflexión ocurren en $x=\mu \pm \sigma$.
5. Si $\sigma$ es relativamente grande la gráfica de $f$ tiende a se achatada o bien ensanchada.

Áreas bajo la curva normal

Cómo está definida el area bajo la curva normal? ? La curva de cualquier distribución continua de probabilidad está construida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los dos puntos $x=a$ y $x=b$ es igual a la probabilidad que la variable aleatoria $X$ asuma valores entre $a$ y $b$ $A=P(a<x<b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_a^b{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx$ Qué le debemos realizar a la curva normal para poder calcular sus probabilidades (areas)? ? Esta función no posee una resolución directa, por lo que se debe resolver numéricamente.

• Para poder resolverla, se utilizan métodos de estandarización. Se realiza la siguiente transformación: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

Cómo se define la distribución normal estándar? ?

Distribución Normal Estándar

La distribución de una variable aleatoria normal con $\mu =0$ y $Var(X)=1$ se llama distribución normal estándar $(Z\sim N(0,1))$ su función de densidad de probabilidad $f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{z}^2}$ con $-\infty <z<\infty$

• Si $X$ se distribuye como una normal con media $\mu$ y varianza ${\sigma }^2$, luego la variable $Z$ (estandarización de $X$) se distribuye como una normal con media 0 y varianza 1 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\Rightarrow Z=\frac{x-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$ $P(a<x<b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_a^b{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{z_1}^{z_2}{e}^{-\frac{1}{2}{z}^2}dz=P(z_1<Z<z_2)$

Notación

$P(z_1<Z<z_2)=P(Z\le z_2)-P(Z\le z_1)=\Phi (z_2)-\Phi (z_1)$ Sea un valor cualquiera en la distribución, donde el area hacia la derecha de un $z_{\alpha }$ es igual a $\alpha$. Entonces $\Phi (z_{\alpha })=1-\alpha$