Definición formal de límite

Análisis matemático II

Definición de Límite

Sea $f$ una función de n variables definida en alguna bola abierta $B_{\delta }^{\ast }(A)\subset D$, con $D$ dominio de la función, excepto posiblemente en el punto $A$. Entonces el límite de $f(P)$ conforme P tiende a A es L, lo cual se denota: ${\lim }_{P\to A}f(P)=L$ si para cualquier $ϵ>0$, existe $\delta >0$ tal que $0<||P-A||<\delta \Rightarrow |f(P)-L|<ϵ$ Si $f$ es una función de dos variables independientes: ${\lim }_{(x,y)\to (a_1,a_2)}f(x,y)=L$ si para cualquier $ϵ>0$, existe $\delta >0$ tal que $0<\sqrt{(x-a_1{)}^2+(y-a_2{)}^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<ϵ$

Bola abierta y cerrada

Importante: Para que exista el límite doble, el valor de L debe ser el mismo por cualquier trayectoria considerada que pase por A.

Criterio para inexistencia del límite doble

Si una función $f$ tiene límites distintos a lo largo de dos trayectorias diferentes para las cuales $(x,y)$ tiende al punto $(a_1,a_2)$ entonces ${\lim }_{(x,y)\to (a_1,a_2)}f(x,y)=L$ no existe.

Propiedades de los límites

• Constantes: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }b=b$
• Identidad: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }x=x_0;\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }y=y_0$
• Sumas/Diferencias: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }(f(x,y)\pm g(x,y))=L\pm K$
• Multiplos escalares: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }b\cdot f(x,y)=bL$
• Productos: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)\cdot g(x,y)=LK$
• Cocientes: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)/g(x,y)=L/K$, ($K\ne 0$)
• Poderes: $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y{)}^n=L^n$