Transformaciones lineales

Course: Algebra I

• Concepto de dominio y codonimio de un transformación Formalmente, si $T:V\to W$ es una transformación lineal que mapea un vector $\vec{v}\in V$ a un vector $\vec{w}\in W$, entonces $V$ es el dominio de $T$ y $W$ es el codominio de $T$. El dominio y el codominio de una transformación lineal son importantes porque determinan el conjunto de vectores que se pueden transformar mediante la función y el conjunto de vectores que se pueden obtener mediante la función, respectivamente.

• Definición de transformación u operador lineal Una transformación lineal, también conocida como operador lineal, es una función que mapea un vector de un espacio vectorial a otro vector en otro espacio vectorial, de tal manera que preserva la estructura lineal de los vectores. Formalmente, una transformación lineal $T:V\to W$ es una función que satisface las siguientes propiedades:

  1. $T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})$ para cualquier par de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en $V$.
  2. $T(k\vec{u})=kT(\vec{u})$ para cualquier vector $\vec{u}$ en $V$ y cualquier escalar $k$.
  3. $T(\vec{0})=\vec{0}$, donde $\vec{0}$ es el vector nulo en $V$.

• Definición de transformation identidad La transformación identidad $T:V\to V$ se define como $T(\vec{v})=\vec{v}$ para cualquier vector $\vec{v}$ en $V$. En otras palabras, la transformación identidad deja inalterados todos los vectores en el espacio vectorial.

• Definición de transformación nula La transformación nula $T:V\to W$ se define como $T(\vec{v})=\vec{0}$ para cualquier vector $\vec{v}$ en $V$, donde $\vec{0}$ es el vector nulo en $W$. En otras palabras, la transformación nula asigna el vector nulo del espacio vectorial de llegada a todos los vectores del espacio vectorial de partida.

• Definición de transformación de reflexión La transformación de reflexión es una transformación lineal que invierte la orientación de un objeto geométrico con respecto a un plano de reflexión. Formalmente, si $P$ es un plano en ${\mathbb{R}}^n$, entonces la transformación de reflexión $T_P:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ se define como sigue:

  • Para cualquier vector $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la transformación de reflexión $T_P(\vec{v})$ es el vector resultante de reflejar $\vec{v}$ con respecto al plano $P$.

• Definición de transformación de rotación Para cualquier vector $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la transformación de rotación $T_{P,\theta }(\vec{v})$ es el vector resultante de rotar $\vec{v}$ alrededor del punto fijo $P$ en un ángulo $\theta$.

• Definición de transformación de proyección en R3

• Definición de operador de transposición

• Definición de operador diferencial

• Definición de operador integral

• Condición necesaria para transformación lineal

• Propiedades de la transformación lineal

• Teorema existencia de la transformación lineal

• Teorema matriz asociada a la transformación El teorema de la matriz asociada a una transformación lineal establece que toda transformación lineal $T:V\to W$ se puede representar mediante una matriz $A$ de tamaño $m\times n$, donde $m$ es la dimensión del espacio vectorial de llegada $W$ y $n$ es la dimensión del espacio vectorial de partida $V$. La matriz $A$ se llama matriz asociada a la transformación lineal $T$ y se define como sigue:

  • Para cualquier vector $\vec{v}$ en $V$, la imagen de $\vec{v}$ bajo la transformación lineal $T$ se puede representar como $T(\vec{v})=A\vec{v}$, donde $\vec{v}$ es un vector columna de tamaño $n$ y $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$.

• Definición de Kernel e imagen de una transformación El kernel y la imagen son dos conceptos fundamentales en el estudio de las transformaciones lineales.

  • El kernel de una transformación lineal $T:V\to W$ es el conjunto de todos los vectores en el espacio vectorial de partida $V$ que se transforman en el vector nulo del espacio vectorial de llegada $W$. Formalmente, el kernel de $T$ se define como $\ker (T)=\vec{v}\in V:T(\vec{v})=\vec{0}$.
  • La imagen de una transformación lineal $T:V\to W$ es el conjunto de todos los vectores en el espacio vectorial de llegada $W$ que se pueden obtener mediante la transformación lineal. Formalmente, la imagen de $T$ se define como $\mathrm{im}(T)=\vec{w}\in W:\vec{w}=T(\vec{v})\text{ para alguˊn }\vec{v}\in V$.

• Proposición del kernel e imagen como un subespacio

• Definición de nulidad y rango de una transformación

• Teorema de las dimensiones

• Teorema: Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a las bases canónicas

• Uso de la matriz asociada para la determinación del núcleo e imagen de la transformación