Teoría de Probabildad

Teoría de Probabilidad

• Date:: 2023-03-25

• Course:: Probabilidad y Estadística

• Source:: Conceptos de Probabilidad

• Si $A$ es un evento asociado con experimento aleatorio, no podemos indicar con certeza que $A$ ocurrirá o no. Es importante tratar de asociar un número (cuantificar) con el evento $A$, que medirá, la posibilidad de que el evento $A$ ocurra.

• Trataremos de cuantificar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio

Probabilidad Clásica

Enunciada por Laplace en 1812

Definición de probabilidad de Laplace ?

Definición de Laplace

El cociente entre el número de casos favorables y el número total de casos, siempre que todos sean igualmente posibles Sólo aplicables a situaciones ideales, ya que es muy complicado aceptar la “equi-probabilidad” de los sucesos

• Sucesos igualmente probables. Aunque es difícil de probar la equi-probabilidad.

Aproximación de frecuencia Relativa

Establecida por Von Mises en 1919

Definición de probabilidad de Von Mises (aproximación de frecuencia relativa) ?

• Necesito tener un experimento que lo pueda repetir un número infinito de veces. Entonces la probabilidad de ese suceso $A$ será ${\lim }_{N\to \infty }\frac{n}{N}=P(S)$ $f_A=\frac{n_A}{n}$ el cociente entre el número de veces que ocurre el evento $A$ y l número de veces que se repite el experimento $ϵ$ se llama frecuencia relativa del evento A en las $n$ repeticiones de $ϵ$

Definición de Von Mises

Si $n$ es la frecuencia absoluta del suceso $S$ y $N$ el número total de veces que se repite el experimento aleatorio, entonces ${\lim }_{N\to \infty }\frac{n}{N}=P(S)$

Definición Axiomática de Probabilidad

? Sea $ϵ$ un experimento y $S$ un espacio muestral asociado con $ϵ$. Cada evento de $A$ asociamos un número real, designado con $P(A)$ (llamado probabilidad de $A$) el cual satisface las siguientes propiedades:

1. $P(S)=1$
2. $0\le P(A)\le 1$
3. Si $A$ y $B$ son eventos mutuamente excluyentes $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
4. Si $A_1,A_2,\dots ,A_n\dots$ son eventos mutuamente excluyentes de pear en par, entonces $P({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)+\dots$

• Plantea la limitación de no proporcionar un método práctico de obtención de probabilidades de sucesos en el mundo real.

Propiedades derivadas de la definición axiomática de probabilidad

?

• Teorema 1: La probabilidad del suceso imposible es $0:P(\theta )=0$
• Teorema 2: La probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera es $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Teorema 3: Si $A^c$ es el evento complementario de $A$, entonces $P(A^c)=1-P(A)$
• Teorema 4: Si un suceso $S_1$ está contenido en otro suceso $S$ $(S_1\subset S)$ entonces $P(S_1)\le P(S)$
• Teorema 5: La probabilidad de un suceso es menor o igual a 1

Cálculo de probabilidades en un espacio muestral finito

? Sea el espacio muestral $S=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ . A cada suceso elemental $\{a_i\}$ asignamos un número $p_i$ que satisface las siguientes condiciones.

1. $p_i\ge 0,i=1,2,\dots ,k$
2. $p_1+p_2,\cdots +p_k=1$ Supongamos que un evento $A$ está constituido por $r$ resultados, $1\le r\le k$, digamos $A=\{a_{j1},a_{j2},\dots ,a_{jn}\}$ donde $j_1,j_2,\dots ,j_r$. De las condiciones anteriores se deduce que: $P(A)=p_{j1}+p_{j2}+\cdots +p_{jr}$ Para cualquier suceso de $A$ de $S$ se puede determinar un modo único $P(A)$ si se conocen las probabilidades de cada uno de los sucesos elementales de $S$

Teorema para el cálculo de probabilidades ?

Teorema (Cálculo de probabilidades)

Si un experimento puede tener cualquiera de $N$ resultados posibles difrentes igualmente factibles, y si exactamente $n$ de esos resultados corresponden al evento $A$, entonces la probabilidad de este último es: $P(A)=\frac{n}{N}$

Si los resultados del espacio muestral de un experimento no tienen la misma posibilidad de ocurrir, las probabilidades deben asignares sobre las bases de un conocimiento previo o una base experimental.

conceptos_probabilidad