Definición de funciones de 2 y 3 variables independientes

Análisis matemático II

Funciones de n-variables

Una función es una relación especial entre variables dependientes e independientes. Hasta el momento, hemos estudiado funciones de una sola variable $y=f(x)$.

Para funciones de n-variables, utilizaremos la siguiente notación:

$$z=f(x,y)=x^2-3y+\sin (x+y)$$

Donde $z$ es la variable independiente, y el par $(x,y)$ son las variables dependientes.

Definición de funciones de dos variables independientes

Una función f, dos variables reales x e y, es una regla que asigna a cada par $(x,y)$ de algún conjunto $D\subset {\mathbb{R}}^2$, un número real único $z=f(x,y)$.

El dominio de una función de dos variables es el conjunto de los pares $(x,y)$ que hacen real el valor $f(x,y)$.

Definición de funciones de tres variables independientes

Una función f, tres variables reales x, y y z, es una regla que asigna a cada terna $(x,y,z)$ de algún conjunto $D\subset {\mathbb{R}}^3$, un número real único $w=f(x,y,z)$.

El dominio de una función de tres variables es el conjunto de las ternas $(x,y,z)$ que hacen real el valor $f(x,y,z)$.

Determinación del dominio

Por ejemplo, consideremos la función:

$$z=f(x,y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}$$

La función f posee dos restricciones:

• $x+y+1\ge 0$
• $x-1\ne 0$

Si $x+y+1=0$, entonces $y=-x-1$. Si $x-1=0$, entonces $x=1$.

Por lo tanto, el dominio de f es:

$$domf=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2/x+y+1\ge 0\wedge x-1\ne 0\}$$

Podemos graficar el dominio de f de la siguiente manera:

Dominio de f

Conversión de expresiones matemáticas

Para convertir las expresiones matemáticas en formato LaTeX a formato Markdown, podemos utilizar los siguientes símbolos y convenciones:

• Para escribir una expresión matemática en línea, utilizamos el símbolo $ al inicio y al final de la expresión. Por ejemplo, $x^2$ se convierte en $x^2$.
• Para escribir una expresión matemática en una línea separada, utilizamos el símbolo $$ al inicio y al final de la expresión. Por ejemplo, $$\int_{0}^{1} x^2 dx$$ se convierte en ${\int }_0^1{x}^{2}dx$
• Para escribir fracciones, utilizamos la convención \frac{numerador}{denominador}. Por ejemplo, \frac{1}{2} se convierte en $\frac{1}{2}$.
• Para escribir exponentes y subíndices, utilizamos los símbolos ^ y _, respectivamente. Por ejemplo, x^2 se convierte en $x^2$, y x_1 se convierte en $x_1$.

Recursos adicionales

• Tutorial: Funciones desde los puntos de vista numérico, algebráico, y gráfico
• Funciones y gráficas - Libro digital interactivo
• Operaciones con polinomios

Gráfica de funciones de 2 variables