Notación polar o trigonométrica de un complejo

Course: Algebra II

Módulo y Argumento de Número complejo

El módulo y el argumento son dos medidas importantes de un número complejo en el plano complejo.

• Módulo: El módulo de un número complejo $z=a+bi$ es una medida de su magnitud o longitud en el plano complejo. El módulo de $z$ se denota por $|z|$ y se define como la distancia del número complejo $z$ al origen en el plano complejo. Matemáticamente, el módulo de $z$ se puede expresar como:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

En otras palabras, el módulo de un número complejo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria.

• Argumento: El argumento de un número complejo $z=a+bi$ es una medida del ángulo que forma el número complejo con el eje real en el plano complejo. El argumento de $z$ se denota por $\arg (z)$ y se define como el ángulo $\theta$ tal que $\tan (\theta )=\frac{b}{a}$, donde $a$ y $b$ son la parte real e imaginaria de $z$, respectivamente. El argumento de un número complejo se puede expresar en radianes o grados.

• Propiedades del módulo de un complejo

  • El módulo de un número complejo es siempre un número real no negativo, es decir, $|z|\ge 0$ para todo número complejo $z$.
  • El módulo de un número complejo es igual a cero si y solo si el número complejo es cero, es decir, $|z|=0$ si y solo si $z=0$.
  • El módulo de un producto de dos números complejos es igual al producto de los módulos de los números complejos, es decir, $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ para todo número complejo $z_1$ y $z_2$.
  • El módulo de un cociente de dos números complejos es igual al cociente de los módulos de los números complejos, es decir, $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ para todo número complejo $z_1$ y $z_2$ con $z_2\ne 0$.
  • El módulo de la suma de dos números complejos es menor o igual a la suma de los módulos de los números complejos, es decir, $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ para todo número complejo $z_1$ y $z_2$.

Notación polar o trigonométrica de un complejo

La notación polar o trigonométrica de un número complejo es una forma alternativa de representar un número complejo en el plano complejo utilizando su módulo y su argumento. Formalmente, si $z$ es un número complejo con módulo $r$ y argumento $\theta$, entonces la notación polar de $z$ se puede escribir como:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

En esta forma, $r$ es el módulo de $z$ y $\theta$ es el argumento de $z$. La expresión $\cos \theta +i\sin \theta$ se conoce como la forma exponencial de un número complejo, y se denota por $e^{i\theta }$.

Multiplicación y división de números complejos

La multiplicación y división de números complejos en forma trigonométrica se pueden realizar utilizando las propiedades de la notación polar o trigonométrica de los números complejos. Si $z_1$ y $z_2$ son dos números complejos con módulos $r_1$ y $r_2$ y argumentos ${\theta }_1$ y ${\theta }_2$, respectivamente, entonces la multiplicación y división de $z_1$ y $z_2$ en forma trigonométrica se pueden realizar de la siguiente manera:

• Multiplicación: Para multiplicar dos números complejos en forma trigonométrica, se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. Es decir, si $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ y $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$, entonces:

$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$

• División: Para dividir dos números complejos en forma trigonométrica, se dividen sus módulos y se restan sus argumentos. Es decir, si $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ y $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$, entonces:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2))$

Es importante tener en cuenta que la notación polar o trigonométrica de un número complejo no es única, ya que el argumento de un número complejo puede variar en un múltiplo entero de $2\pi$. Por lo tanto, al realizar operaciones con números complejos en forma trigonométrica, es necesario asegurarse de que los argumentos estén en el rango adecuado para evitar errores en los cálculos.

• Formula De Moivre La fórmula de Moivre es una fórmula matemática que permite calcular las potencias de un número complejo en forma trigonométrica. La fórmula establece que si $z$ es un número complejo con módulo $r$ y argumento $\theta$, entonces la potencia $z^n$ se puede expresar en forma trigonométrica como:$(r(\cos \theta +i\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

Forma exponencial de un complejo y función exponencial

La forma exponencial de un número complejo es una forma alternativa de representar un número complejo en el plano complejo utilizando la función exponencial compleja. Formalmente, si $z$ es un número complejo con módulo $r$ y argumento $\theta$, entonces la forma exponencial de $z$ se puede escribir como:

$z=r{e}^{i\theta }$

En esta forma, $r$ es el módulo de $z$ y $\theta$ es el argumento de $z$. La expresión $e^{i\theta }$ se conoce como la función exponencial compleja, y se define como $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$.

Propiedades de la forma exponencial de un complejo

La forma exponencial de un número complejo tiene las siguientes propiedades:

• La multiplicación de dos números complejos en forma exponencial se puede realizar multiplicando sus módulos y sumando sus argumentos. Es decir, si $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ y $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$, entonces:$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

• La división de dos números complejos en forma exponencial se puede realizar dividiendo sus módulos y restando sus argumentos. Es decir, si $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ y $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$, entonces:$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$

• La potencia $n$-ésima de un número complejo en forma exponencial se puede calcular elevando su módulo a la $n$-ésima potencia y multiplicando su argumento por $n$. Es decir, si $z=r{e}^{i\theta }$, entonces:$z^n=r^n{e}^{in\theta }$

• El conjugado de un número complejo en forma exponencial se puede obtener reemplazando $i$ por $-i$ en la expresión exponencial. Es decir, si $z=r{e}^{i\theta }$, entonces:$\overline{z}=r{e}^{-i\theta }$

Raiz enésima de un número

La raíz enésima de un número es un número que, elevado a la enésima potencia, es igual al número original. En el caso de los números complejos, la raíz enésima de un número complejo $z$ es un número complejo $w$ tal que $w^n=z$, donde $n$ es un número entero positivo.

La raíz enésima de un número complejo se puede expresar en forma polar o trigonométrica utilizando su módulo y su argumento. Si $z$ es un número complejo con módulo $r$ y argumento $\theta$, entonces la raíz enésima de $z$ se puede expresar en forma polar como:

$w_k=\sqrt[n]{r}{e}^{i\frac{\theta +2k\pi }{n}}$

donde $k=0,1,2,\dots ,n-1$ son los $n$ valores posibles de la raíz enésima de $z$. En otras palabras, la raíz enésima de un número complejo se puede obtener tomando la raíz enésima de su módulo y dividiendo su argumento entre $n$, y luego sumando un múltiplo entero de $2\pi /n$ para obtener los $n$ valores posibles de la raíz enésima.

Es importante tener en cuenta que la raíz enésima de un número complejo no es única, ya que hay $n$ valores posibles de la raíz enésima. Además, la raíz enésima de un número complejo puede ser un número complejo con partes real e imaginaria no racionales, lo que puede dificultar su cálculo.