Circunferencia en R2

Course: Algebra II

Definición de circunferencia

Dados unos puntos $C\in {\mathbb{R}}^2$ y una constante $r\in \mathbb{R},r>0$ llamamos circunferencia al conjunto $C=\{X\in {\mathbb{R}}^2:\text{dist}(C,X)=r\}$

• Ecuación canónica de la circunferencia Una circunferencia en ${\mathbb{R}}^2$ es un conjunto de puntos en el plano que están a una distancia constante $r$ de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. Formalmente, una circunferencia en ${\mathbb{R}}^2$ se puede definir como el conjunto de puntos $(x,y)$ que satisfacen la ecuación:$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$donde $(a,b)$ es el centro de la circunferencia y $r$ es el radio de la circunferencia. La ecuación de la circunferencia se puede escribir en forma vectorial como: $(\vec{v}-\vec{c})\cdot (\vec{v}-\vec{c})=r^2$ donde $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ es un vector que representa un punto en el plano, $\vec{c}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ es un vector que representa el centro de la circunferencia, y $\cdot$ denota el producto punto de dos vectores.

• Ecuación general de la circunferencia La ecuación general de la circunferencia en ${\mathbb{R}}^2$ es una forma alternativa de escribir la ecuación de la circunferencia que no está centrada en el origen. La ecuación general de la circunferencia se puede escribir como:$a{x}^2+a{y}^2+bx+cy+d=0$donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son constantes reales y $x$ e $y$ son las variables que representan las coordenadas de un punto en el plano.

Para obtener la ecuación general de la circunferencia a partir de la ecuación estándar centrada en el origen, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Expandir la ecuación estándar $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.
2. Reorganizar los términos para obtener la forma $a{x}^2+a{y}^2+bx+cy+d=0$.

• Elementos de la circunferencia
  • Centro
  • Radio
  • Rango, dominio, intersección con los ejes