Hipérbolas en R2

Course: Algebra II

Definición de hipérbola en ${\mathbb{R}}^2$

Dados dos puntos fijos $F_1,F_2\in {\mathbb{R}}^2,F_1\ne F_2$ llamados focos y una constante $a\in \mathbb{R},a>0$ tal que $\text{dist}(F_1,F_2)>2a$. Llamamos hipérbola al conjunto: $H=\{X\in {\mathbb{R}}^2:|\text{dist}(F_1,X)|-\text{dist}(F_2,X)|=2a\}$ La ecuación canónica de la hipérbola es una forma de escribir la ecuación de una hipérbola en el plano cartesiano de manera simplificada. La ecuación canónica de la hipérbola se puede escribir en la forma:

$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

donde $(h,k)$ es el centro de la hipérbola, $a$ es la distancia desde el centro hasta un vértice de la hipérbola, y $b$ es la distancia desde el centro hasta la asíntota.

• Elementos de la hipérbola

  • Focos: La hipérbola tiene dos focos, que son dos puntos en el plano que se encuentran a una distancia fija de la hipérbola. La distancia entre los focos se denota por $2c$, y se cumple que $c^2=a^2+b^2$, donde $a$ es la distancia desde el centro de la hipérbola hasta un vértice, y $b$ es la distancia desde el centro de la hipérbola hasta la asíntota.
  • Vértices: La hipérbola tiene dos vértices, que son los puntos donde la hipérbola intersecta su eje transversal. Los vértices se encuentran a una distancia $a$ del centro de la hipérbola a lo largo del eje transversal.
  • Centro: El punto en el plano que se encuentra en el centro de la hipérbola y equidista de todos los puntos de la hipérbola.
  • Asíntotas: La hipérbola tiene dos asíntotas, que son dos rectas en el plano que se acercan a la hipérbola pero nunca la intersectan. Las asíntotas se intersectan en el centro de la hipérbola, y su pendiente es igual a $\pm \frac{b}{a}$.
  • Distancia focal: La distancia focal de la hipérbola se denota por $2d$, y se cumple que $d^2=c^2-a^2$.
  • Excentricidad: La excentricidad de la hipérbola es una medida de cuánto se desvía la hipérbola de ser una parábola. La excentricidad se denota por $e$, y se cumple que $e=\frac{c}{a}$.

• Ecuación general de la hipérbola$A{x}^2+B{y}^2+Lx+My+n=0,conA\cdot B<0$

• Relación fundamental de la hipérbola $c^2=a^2+b^2$