Sucesiones

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:18 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se define una sucesión?

  Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Es decir $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$

• Qué es el límite de una sucesión?

  Sea la sucesión $\{a_n\}$ y sea $L$ un número real. Diremos que el límite de la sucesión $\{a_n\}$ es $L$ si y solo si

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$$

• Cómo es la convergencia de sucesiones?

  • Sucesión Convergente
    • Se dice que la sucesión $\{a_n\}$ es convergente si y solo si existe el ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$, es decir ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$, $L\in \mathbb{R}$
  • Sucesión Divergente
    • Se dice que la sucesión $\{a_n\}$ es convergente si y solo si no existe el ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$

• Enuncie el teorema del valor absoluto para sucesiones

  Dada una sucesión $\{a_n\}$ si

  $$\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$

• Qué es la monotonía en las sucesiones?

  Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ es

  • Creciente si $\forall n\ge 1,a_n\le a_{n+1}$
  • Decreciente si $\forall n\ge 1,a_n\ge a_{n+1}$
  • Monótona si es creciente o decreciente

• Cómo puede estar acotada una sucesión?

  Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ es

  • Acotada superiormente si existe un número real $M$ tal que $a_n\le M\forall n\in \mathbb{N}$. El número real $M$ recibe el nombre de cota superior de la sucesión.
  • Acotada inferiormente si existe un número real $m$ tal que $a_n\ge m\forall n\in \mathbb{N}$. El número real $m$ recibe el nombre de cota inferior de la sucesión.

• Teorema de sucesiones monótonas acotadas

  Si una sucesión $\{a_n\}$ es monótona y acotada, entonces es convergente.

• Teorema de sucesiones convergentes

  Si una sucesión es convergente, entonces es acotada.

• Cuáles son las propiedades de las sucesiones convergentes