Ecuaciones diferenciales exactas

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:16 PM Status: Done Year: 2022

• Qué es una “Ecuación diferencial exacta”?

  Una ecuación diferencial de la forma $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es una ED exacta si existe una función $f$ , de forma $f(x,y)=c$, c constante real, tal que

  $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=M(x,y)$$ $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=N(x,y)$$

  Nota: La función $f$ es tal que su diferencial total es $M(x,y)dx+N(x,y)dy$

• Explique el criterio para las ED exactas

  Si $M$ y $N$ son funciones de $x$ e $y$ continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región del plano $xy$, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ sea exacta es que

  $$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$

  En consecuencia si la forma $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ es exacta la ecuación $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es una ecuación diferencial exacta.

  1. Considero $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=M(x,y)$, luego integro con respecto de $x$

     $$f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$$

  2. Para determinar $g(y)$, se calcula la derivada parical con respecto de $y$ de ambos lados de la ecuación

     $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+g^{\prime }(y)$$ $$N(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+g^{\prime }(y)$$ $$g^{\prime }(y)=N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx$$

  3. Se integra $g^{\prime }(y)$ para obtener $g(y)$ salvo una constante numética. Al sustituir $g(y)$ en la ecuación (2) se obtiene $f(x,y)$

  4. La solución de la ecuación $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ tiene la forma

     $$f(x,y)=c$$

• Qué son las “Ecuaciones diferenciales reducibles a exactas”?

  • La exactitud en las ecuaciones diferenciales es una condición muy frágil.

  • Factor integrante

    Si la ecuación diferencial $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ n es exacta, se puede multiplicar a ambos lados por una función $\mu$ de $x$ e $y$, llamado factor integrante de manera que:

    $$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$

    Es decir

    $$\mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0$$

    1. Si $\frac{1}{N(x,y)}[M_y(x,y)-N_x(x,y)]=h(x)$ es solamente una función de $x$, entonces:

       $$\mu (x)=e^{\int h(x)dx}$$

    2. Si $\frac{1}{M(x,y)}[N_x(x,y)-M_y(x,y)]=k(x)$ es solamente una función de $x$, entonces:

       $$\mu (y)=e^{\int k(y)dy}$$