Planos en R3

Course: Algebra II

• Definición de plano en R3 Un plano en ${\mathbb{R}}^3$ es una superficie plana que se extiende infinitamente en tres dimensiones. Un plano se puede definir como un conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisfacen una ecuación lineal de la forma $ax+by+cz=d$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son constantes reales y $x$, $y$ y $z$ son las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional.

• Ecuación vectorial del plano La ecuación vectorial de un plano en ${\mathbb{R}}^3$ se puede expresar en términos de un punto en el plano y un vector normal al plano. Si $(x_0,y_0,z_0)$ es un punto en el plano y $\vec{n}=(a,b,c)$ es un vector normal al plano, entonces la ecuación vectorial del plano se puede escribir como:$(\vec{r}-\overrightarrow{r_0})\cdot \vec{n}=0$donde $\vec{r}=(x,y,z)$ es un vector que representa cualquier punto en el plano y $\overrightarrow{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$ es un vector que representa el punto en el plano. El producto punto $(\vec{r}-\overrightarrow{r_0})\cdot \vec{n}$ es igual a cero si y solo si el vector $(\vec{r}-\overrightarrow{r_0})$ es perpendicular al vector normal $\vec{n}$, lo que significa que el vector $(\vec{r}-\overrightarrow{r_0})$ está en el plano.

• Ecuación general cartesiana del plano$Ax+By+Cz+D=0$

• Forma segmentaria del plano

  • La forma segmentaria del plano en ${\mathbb{R}}^3$ se puede expresar en términos de dos puntos en el plano y un vector normal al plano. Si $(x_1,y_1,z_1)$ y $(x_2,y_2,z_2)$ son dos puntos en el plano y $\vec{n}=(a,b,c)$ es un vector normal al plano, entonces la forma segmentaria del plano se puede escribir como:$\frac{(x-x_1)}{a}=\frac{(y-y_1)}{b}=\frac{(z-z_1)}{c}$Esta forma segmentaria del plano se puede utilizar para encontrar la ecuación del plano en términos de dos puntos en el plano y un vector normal al plano. La forma segmentaria del plano también se utiliza en la resolución de problemas en matemáticas, física, ingeniería y otras áreas de la ciencia.

• Ecuación del plano paralelo a dos vectores y un punto del mismo

• Ecuación vectorial paramétrica La ecuación vectorial paramétrica de un plano en ${\mathbb{R}}^3$ se puede expresar en términos de un punto en el plano y dos vectores que se encuentran en el plano. Si $(x_0,y_0,z_0)$ es un punto en el plano y $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores que se encuentran en el plano, entonces la ecuación vectorial paramétrica del plano se puede escribir como:$\vec{r}=\overrightarrow{r_0}+s\vec{u}+t\vec{v}$donde $\vec{r}=(x,y,z)$ es un vector que representa cualquier punto en el plano, $\overrightarrow{r_0}=(x_0,y_0,z_0)$ es un vector que representa el punto en el plano, y $s$ y $t$ son parámetros que varían en el conjunto de números reales. La ecuación vectorial paramétrica del plano se puede utilizar para encontrar cualquier punto en el plano utilizando los valores de $s$ y $t$.

• Ecuación del plano con tres puntos no alineados

• Distancia de un punto a un plano

• Posiciones relativas entre dos planos
  

  

• Ángulos entre vectores