Ecuaciones diferenciables lineales

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:16 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se resuelven las “Ecuaciones diferenciables lineales”?

  Una ecuación diferencial lineal de 1er orden tiene la forma

  $$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$$

  con $a_1$ y $a_0$ funciones continuas de $x$ con $a_1(x)\ne 0$

  Su forma estándar $\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$

  Pasos para resolverlas

  1. Se expresa en la forma estándar

  2. Se calcula el factor integrante $\mu (x)=e^{\int p(x)dx}$

  3. Se multiplica la ecuación por el factor integrante

     $$e^{\int p(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int p(x)dx}p(x)y=e^{\int p(x)dx}q(x)$$

  4. El lado izquierdo de la ecuación, es el resultado del producto $e^{\int p(x)dx}y$

     $$\frac{d}{dx}[e^{\int p(x)dx}y]=e^{\int p(x)dx}q(x)$$

  5. Se integra la ecuación a ambos lados

     $$\int \frac{d}{dx}[e^{\int p(x)dx}y]dx=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx\Rightarrow e^{\int p(x)dx}y=\int e^{\int p(x)dx}q(x)+C$$

  6. Despejando $y$

     $$y(x)=\frac{1}{e^{\int p(x)dx}}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C]$$ $$y(x)=\frac{1}{\mu (x)}[\int \mu (x)q(x)dx+C]$$

     Siendo $\mu (x)$ el factor integrante.