Series de Potencias

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:18 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se define una serie de potencias?

  Una serie de potencias es aquella que tiene la forma (serie centrada)

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots$$

  donde $x$ es una variable y los $c_n$ son constantes, llamados coeficientes de la serie. Demanera más general, es una serie de la forma

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\dots$$

  se llama serie de potencias en $(x-a)$, serie de potencias centrada en $a$, o serie de potencias sobre $a$

  • Puede ocurrir que sea convergente para unos valores, y divergente para otros.
  • Por convención $(x-a{)}^0=1$ por más que x-a pueda ser sero

• Teorema sobre el radio de convergencia de las series de potencias

  Para una serie de potencia dada, ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n$, solo hay una de tres posibilidades:

  1. La serie sólo converge cuando $x=a$
     • El intervalo consta de un solo punto, $a$.
  2. La serie converge para toda $x$
     • El intervalo es es $(-\infty ,\infty )$.
  3. Hay un número positivo, $R$, tal que la serie converge si $|x-a|<R$ y diverge si $|x-a|>R$
     • Se puede observar que la desigualdad $|x-a|<R$ se puede escribir de la forma $a-R<x<a+R$.
  • el R es el radio de convergencia.

  Cuando $x$ es un punto extremo del intervalo, es decir $x=a\pm R$, puede suceder que la serie sea convergente o divergente en cada uno de los extremos. Por lo que en el caso 3 existen cuatro posibilidades de convergencia.

  • $(a-R,a+R)$
  • $(a-R,a+R)$
  • $[a-R,a+R)$
  • $[a-R,a+R]$

  Por lo general, para encontrar el radio de convergencia, utilizamos el criterio del cociente.

• Definición de Serie de Taylor y Serie de Maclaurin

  Si una función $f$ tiene derivadas parciales de todos los órdenes en $x=a$, se llama serie de Taylor de $f$ centrada en la serie

  $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^n(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\dots$$

  En el caso particular donde $a=0$, la serie

  $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n=f(a)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\dots$$

  se denomina serie de Maclaurin de $f$