Integrales dobles en coordenadas polares

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:09 PM Status: Done Year: 2022

• Caracterice un sistema de coordenadas polares

  • Podemos representar un punto en $R^2$ de dos formas: de forma cartesiana, y de forma polar.
  • El cambio a coordenadas polares, en muchas regiones, nos va a convenir hacer un planteo en coordenadas polares. Facilita el cálculo.

  Dado un punto $P$ llamamos $r$ a la norma del vector, $\phi$ al ángulo positivo (en sentido antihorario y entre $0$ y $2\pi$). Por lo tanto, cada punto del plano puede ser representado por

  $$0\le r\le \infty \wedge 0\le \phi \le 2\pi$$

  

  Tenemos la siguiente transformación

  $$(x,y)\mapsto (r,\phi )$$ $$\begin{gathered} x=r\cos \phi \\ y=\sin \phi \end{gathered}$$

• Defina la función Aplicación de Coordenadas Polares

  Podemos crear la función $g$ para realizar el cambio de variables

  • Aplicacion de coordenadas polares es el nombre de la función que realiza el cambio de variables
  $$\begin{gathered} g:[0,\infty )\times [0,2\pi ]\subset R^2\to R^2 \\ (r,\phi )\mapsto (r\cos \phi ,r\sin \phi ) \end{gathered}$$

  Por lo tanto, la integral doble queda definida como

  $${\iint }_{R=g(R^{\prime })}f(x,y)dxdy={\iint }_{R^{\prime }}f(r\cos \phi ,r\sin \phi )J\left(\frac{x,y}{r,\phi }\right)drd\phi$$

  donde $J\left(\frac{x,y}{r,\phi }\right)$ es el Jacobiano de la transformación.

  $$J\left(\frac{x,y}{r,\phi }\right)=\left|\begin{array}{cc}{x}_r& x_{\phi }\\ y_r& y_{\phi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|=r({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=r$$

  Por lo tanto, reemplazando el Jacobiano

  $${\iint }_{R=g(R^{\prime })}f(x,y)dxdy={\iint }_{R^{\prime }}f(r\cos \phi ,r\sin \phi )rdrd\phi$$

• Qué relación hay entre los sistemas de coordenadas