Parámetros de una distribución de probabilidad

Valor esperado de una variable aleatoria (Esperanza matemática, media poblacional)

Cómo se define el valor esperado de una variable aleatoria? ?

Definición de valor esperado

Sea $X$ una variable aleatoria continua con función de distribución $f$. El valor esperado de $X$ se define como $E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$

• Esta integral no siempre existe, y en tal caso se dirá que la variable aleatoria no tiene esperanza
• Si repito un experimento un número infinito de veces, que es lo que se espera que ocurra. El promedio se acercará cada vez más a ese valor esperado.

Propiedades del Valor Esperado

Cuáles son las propiedades del valor esperado? ?

1. Si $X=c$, donde $c$ es una constante. Entonces $E(X)=c$
   • Si $X=c$ se observa que esta variable aleatoria consta de un solo valor $c$, es decir que su masa se concentra en un punto $c$
2. Si $c$ es constante, y $X$ es una variable aleatoria, entonces $E(cX)=cE(X)$
   • Se deduce que $E(aX+b)=aE(x)+b$
     • LINEALIDAD DE LA ESPERANZA
3. Sean $X_1,X_2,\dots ,X_n$, $n$ variables aleatorias cuyas esperanzas $E(X_i)$ con $i=1,2,\dots ,n$ existen. Entonces $E(X_1+X_2+\cdots +X_n)=E(X_1)+E(X2)+\cdots +E(X_n)$
4. Sean $(X,Y)$ una variable aleatoria bidimensional y además $X$ e $Y$ son independientes. Entonces $E(X.Y)=E(X)E(Y)$

Esperanza de una función de una variable aleatoria

Si $X$ es una variable aleatoria cuya función de distribución $p_x$ (caso discreto) o $f_x$ (caso continuo), entonces la esperanza de cualquier función $H(X)$ se puede determinar aplicando la definición de esperanza de la distribución $Y=H(X)$ como sigue:

• Considera $Y=H(X)$ se determina la distribución de probabilidades de $Y$, y entonces se determina $E(Y)$ aplicando las definiciones vistas para esperanza de una variable aleatoria.

Varianza de una variable aleatoria

Cómo se define la varianza de una variable aleatoria? ?

Varianza de una v. aleatoria

Sea $X$ una variable aleatoria. Definimos la varianza de $X$, que se denota $Var(X)$ ó ${\sigma }^2$ del siguiente modo: $Var(X)=E(X-E(X){)}^2$

• Conceptualmente, es la dispersión que tiene la variable aleatoria con respecto al valor esperado
• La raíz cuadrada positiva de $Var(X)$ se llama desvío estándar de $X$ y se designa con $\sigma$
  • Puesto que el desvío posee la misma unidad que la epseranza, se utiliza este último
• Como $Var(X)$ es el valor esperado de la variable aleatoria $(X-E(X){)}^2$ resulta que $Var(X)\ge 0$

Enuncia el teorema sobre el cálculo de la varianza de una variable aleatoria. ?

Teorema

$Var(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$

Enuncie el teorema de la esperanza de una función de una variable aleatoria. ?

Teorema: Esperanza de una función de una variable aleatoria

Sea $X$ una variable aleatoria continua en $Y=H(X)$ es una función de la variable aleatoria $X$, y $f_x$ es la función de distribución de $X$, entonces $E(H(X))={\int }_{-\infty }^{\infty }H(X)f_x(X)dx$

Enuncie las propiedades sobre la varianza de una variable aleatoria. ?

1. $Var(X)=0$ si y solo si $X=c$
2. Sea $c$ una constante, entonces $Var(X+c)=Var(X)$
3. Si $c$ es una constante. Entonces $Var(cX)=c^{2}Var(X)$
4. Si $(X,Y)$ es una variable aleatoria bidimensional y $X$ e $Y$ son independientes. Entonces: $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$
5. Si $(X,Y)$ es una variable aleatoria bidimensional y $X$ e $Y$ son independientes y $a,b$ son constantes. Entonces: $Var(aX+bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)$