Producto escalar y vectorial

Course: Algebra I

• Definición de producto escalar en R^2 El producto escalar en ${\mathbb{R}}^2$ es una operación que se realiza entre dos vectores de dos dimensiones y que produce un número real como resultado. Formalmente, si $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ y $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^2$, entonces el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, denotado por $\vec{u}\cdot \vec{v}$, se calcula como sigue:

$\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$

• Definición de producto escalar en R^3 El producto escalar en ${\mathbb{R}}^3$ es una operación que se realiza entre dos vectores de tres dimensiones y que produce un número real como resultado. Formalmente, si $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ y $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^3$, entonces el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, denotado por $\vec{u}\cdot \vec{v}$, se calcula como sigue:$\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$

• Propiedades del producto escalar

  • Conmutatividad: El producto escalar es conmutativo, es decir, $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$ para cualquier par de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^2$ o ${\mathbb{R}}^3$.

  • Distributividad del producto escalar respecto a la suma de vectores: El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores, es decir, $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$ para cualquier terna de vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ en ${\mathbb{R}}^2$ o ${\mathbb{R}}^3$.

  • Distributividad del producto escalar respecto al producto por un escalar: El producto escalar es distributivo respecto al producto de un vector por un escalar, es decir, $(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$ para cualquier vector $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^2$ o ${\mathbb{R}}^3$ y cualquier escalar $k$.

  • Propiedad de la norma: El producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su norma, es decir, $\vec{u}\cdot \vec{u}=|\vec{u}{|}^2$ para cualquier vector $\vec{u}$ en ${\mathbb{R}}^2$ o ${\mathbb{R}}^3$.

  • Propiedad del ángulo: El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus normas por el coseno del ángulo que forman, es decir, $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$ para cualquier par de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^2$ o ${\mathbb{R}}^3$, donde $\theta$ es el ángulo que forman.

• Teorema Desigualdad de Cauchy- Schwarz (sin demostración) La desigualdad de Cauchy-Schwarz es un teorema fundamental en el álgebra lineal que establece una relación entre el producto escalar y la norma de dos vectores. La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualquier par de vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en ${\mathbb{R}}^n$, se cumple que:$|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le \Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$donde $\Vert \vec{u}\Vert$ y $\Vert \vec{v}\Vert$ son las normas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, respectivamente, y $\vec{u}\cdot \vec{v}$ es el producto escalar de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

• Definición de vectores perpendiculares Dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$ se dicen perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados entre sí. Esto significa que el producto escalar de los dos vectores es igual a cero. Formalmente, si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$, entonces se dice que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si:$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$

• Definición ángulo entre vectores El ángulo entre dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$ se define como el ángulo formado por los dos vectores en un espacio euclidiano. Formalmente, si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$, entonces el ángulo $\theta$ entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se calcula como sigue:$\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$donde $\vec{u}\cdot \vec{v}$ es el producto escalar de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y $\Vert \vec{u}\Vert$ y $\Vert \vec{v}\Vert$ son las normas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, respectivamente.

• Definición de distancia La distancia entre dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$ se define como la longitud del vector que une los dos vectores. Formalmente, si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$, entonces la distancia $d(\vec{u},\vec{v})$ entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se calcula como sigue:$d(\vec{u},\vec{v})=\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert$donde $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert$ es la norma del vector diferencia $\vec{u}-\vec{v}$.

• Definición de producto vectorial El producto vectorial es una operación que se realiza entre dos vectores en ${\mathbb{R}}^3$ y que produce un tercer vector que es perpendicular a los dos vectores originales. Formalmente, si $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ y $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^3$, entonces el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, denotado por $\vec{u}\times \vec{v}$, se calcula como sigue: $\vec{u}\times \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2\\ u_3{v}_1-u_1{v}_3\\ u_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right)$

• Propiedades del producto vectorial

• Demostración de las propiedades del producto vectorial

• Definición de producto mixto El producto mixto es una operación que se realiza entre tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$ y que produce un escalar. Formalmente, si $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$, entonces el producto mixto de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$, denotado por $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$, se calcula como sigue:$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})$

• Propiedad geométrica del producto mixto La propiedad geométrica más importante del producto mixto es que su valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores. Es decir, si $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$, entonces el valor absoluto del producto mixto $|\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})|$ es igual al volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores.

• Definición de proyección vectorial ortogonal La proyección vectorial ortogonal es una operación que se realiza entre dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$ y que produce un tercer vector que es una proyección del primer vector sobre el segundo vector, de manera que la proyección es ortogonal al segundo vector. Formalmente, si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores en ${\mathbb{R}}^n$, entonces la proyección vectorial ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$, denotada por ${\mathrm{proj}}_{\vec{v}}\vec{u}$, se calcula como sigue:${\mathrm{proj}}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{v}{\Vert }^2}\vec{v}$

• Definición de proyección escalar$||{\mathrm{proj}}_{\vec{v}}\vec{u}||=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{\Vert \vec{v}\Vert }$