Integrales triples en coordenadas rectangulares

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:10 PM Status: Done Year: 2022

• Defina integral triple a través de la suma de Riemann

  Sean $R=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]$ un rectángulo en ${\mathbb{R}}^3$.

  • Sean ${\pi }_1$ una partición de $[a_1,b_1]$ con $p+1$ elementos $a_1=x_0<x_1<\cdots <x_i<x_p=b_1$
  • Sean ${\pi }_2$ una partición de $[a_2,b_2]$ con $q+1$ elementos $a_2=y_0<y_1<\cdots <y_i<y_q=b_2$
  • Sean ${\pi }_3$ una partición de $[a_3,b_3]$ con $r+1$ elementos $a_3=z_0<z_1<\cdots <z_i<z_r=b_3$

  Trazamos por los elementos de ${\pi }_1$ planos paralelos al plano YOZ, por los de ${\pi }_2$ planos paralelos al plano XOZ y por los de ${\pi }_3$ planos paralelos al plano XOY. Queda dividido el paralelepípedo $R$ en $n=pqr$ paralelepípedos parciales $R_k$

  

  Sean $P_k$ puntos arbitrarios de $R_k\forall k=1,\dots ,n$ y sea la función $f:R^3\to R$, se define la suma de Riemann de la función $f$ relativa a la partición $\pi$ de $R$

  $$\sum _{k=1}^{n=pqr}f(P_k)V(R_k)$$

  Si existe el número $I$ tal que

  $$I=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(P_k)V(R_k)$$

  independiente de la partición $\pi$ de $R$ y de la elección de puntos $P_k$, este número se llama Integral Triple de Riemann de $f$ en $R$ que denotamos

  $$I=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(P_k)V(R_k)={\iiint }_{R}f(x,y,z)dxdydz$$

  y decimos que $f$ es integrable en $R$

• Qué es el diámetro de una sección rectangular en $R^3$?

  Llamamos diámetro de $R_k$ al número real

  $$d_k=\max \{d(P,Q)/P\in R_k\wedge Q\in R_k\}$$

• Teorema sobre las integrales triples y las funciones continuas

  Toda función real de tres variable continua en un paralelepípedo de $R^3$ es integrable en él.

  $f:R\subset {\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ continua en $R$

  $\Rightarrow$ $f$ es integrable en $R$ (existe ${\iiint }_{R}f(x,y,z)dxdydz$)

• Defina Integral Triple

  Si $f$ es una función de tres variables independientes continua en una región sólida y acotada $S$, entonces la integral triple de $f$ sobre $S$ se define como

  $${\iiint }_{S}f(x,y,z)dxdydz=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(P_k)V(R_k)$$

  si el límite existe.

• Enuncie las propiedades de las integrales triples

  1. Linealidad
  2. Positividad
  3. Monotonia
  4. Aditividad respecto de la región de integración

• Defina Region Simple en ${\mathbb{R}}^3$

  • Cuando trazamos rectas paralelas a los ejes coordenados, y corta en dos puntos, o en la frontera. Si cortara en más puntos, no es una región simple.

  Una región $D\subset {\mathbb{R}}^3$ se dice simple sii toda paralela a los ejes coordenados intersecta a la frontera de $D$ en a lo sumo dos puntos o en los puntos de un segmento rectilíneo de la frontera.

  Una región espacial $D$ que puede ser descrita como sigue

  $$\begin{gathered} D=\{(x,y,z\in {\mathbb{R}}^3:a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x),h(x,y)\le z\le g(x,y), \\ a,b\in \mathbb{R})\} \end{gathered}$$

  Con $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ y $\beta :[a,b]\to \mathbb{R}$ continuas en $[a,b]$

  Con $h:D^{\prime }\to \mathbb{R}$ y $g:D^{\prime }\to \mathbb{R}$ continuas en $D^{\prime }$

  $$D^{\prime }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x)\}$$

  y todas las que tienen su forma son regiones simples respecto al eje $\overrightarrow{OZ}$ pues las rectas paralelas a dicho eje cortan a la frontera en $D$ a lo sumo en dos puntos o en los de un segmento de la frontera.

• Teorema sobre las integrales triples

  Sea $f:D\to \mathbb{R}$ continua en $D$ definida como sigue

  $$\begin{gathered} D=\{(x,y,z\in {\mathbb{R}}^3:a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x),h(x,y)\le z\le g(x,y), \\ a,b\in \mathbb{R})\} \end{gathered}$$

  Con $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ y $\beta :[a,b]\to \mathbb{R}$ continuas en $[a,b]$

  Con $h:D^{\prime }\to \mathbb{R}$ y $g:D^{\prime }\to \mathbb{R}$ continuas en $D^{\prime }$

  $$D^{\prime }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:a\le x\le b,\alpha (x)\le y\le \beta (x)\}$$

  Entonces $f$ es integrable en $D$ y vale:

  $${\iiint }_{D}f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^{b}dx{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}dy{\int }_{h(x,y)}^{g(x,y)}f(x,y,z)dz$$

• Mencione las aplicaciones de las integrales triples

  1. Cálculo de Volúmenes de sólidos en el espacio

     • Integral triple sobre un sólido, donde $f(x,y,z)=1$

     Dado un sólido $T$ región en ${\mathbb{R}}^3$ cerrada, acotada, se define el volumen de T como

     $$V(T)={\iiint }_{T}dxdydz$$

  2. Cálculo de masas distribuidas en regiones espaciales

     • Cuando la densidad de masa de un sólido varía en función de la posición espacial
     • Los ejercicios me van a dar la función $\delta (x,y,z)$

     Si un sólido ocupa una región $D$ del espacio, cerrada, acotada, en el que está distribuida una masa total M, según densidad de masa $\delta$, donde $\delta$ es una función continua en x,y,z en D

     $$M={\iiint }_D\delta (x,y,z)dxdydz$$

  3. Cálculo de centro de masa y momentos de inercia

     (No se ve en el curso)