Elipses en R2

Course: Algebra II

Definición formal de una elipse

Dados dos puntos fijos $F_1,F_2\in {\mathbb{R}}^2,F_1\ne F_2$ llamados focos y una constante $a\in \mathbb{R},a>0$ tal que $\text{dist}(F_1,F_2)<2a$, llamamos elipse al conjunto: $E=\{X\in {\mathbb{R}}^2:\text{dist}(F_1,X)+\text{dist}(F_2,X)=2a\}$ La ecuación canónica del elipse es una forma de escribir la ecuación de una elipse en el plano cartesiano de manera simplificada. La ecuación canónica del elipse se puede escribir en la forma:

$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

donde $(h,k)$ es el centro de la elipse, $a$ es la longitud del semieje mayor y $b$ es la longitud del semieje menor.

La ecuación canónica del elipse se puede obtener a partir de la ecuación general de la elipse, que es:

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

donde $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ son constantes reales. Para obtener la ecuación canónica del elipse a partir de la ecuación general, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Completar el cuadrado para obtener la ecuación en la forma $A(x-h{)}^2+C(y-k{)}^2=1$.
2. Dividir ambos lados de la ecuación por el término constante para obtener la ecuación en la forma $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$.

Elementos de una elipse

• Centro: El punto en el plano que se encuentra en el centro de la elipse y equidista de todos los puntos de la elipse.
• Ejes: La elipse tiene dos ejes, el eje mayor y el eje menor. El eje mayor es el segmento que une los dos puntos más alejados de la elipse, y su longitud se denota por $2a$. El eje menor es el segmento que une los dos puntos más cercanos de la elipse, y su longitud se denota por $2b$.
• Focos: La elipse tiene dos focos, que son dos puntos en el plano que se encuentran a una distancia fija de la elipse. La distancia entre los focos se denota por $2c$, y se cumple que $c^2=a^2-b^2$.
• Vértices: La elipse tiene cuatro vértices, que son los puntos donde la elipse intersecta los ejes mayor y menor. Los vértices se encuentran a una distancia $a$ del centro de la elipse a lo largo del eje mayor, y a una distancia $b$ del centro de la elipse a lo largo del eje menor.
• Excentricidad: La excentricidad de la elipse es una medida de cuánto se desvía la elipse de ser un círculo perfecto. La excentricidad se denota por $e$, y se cumple que $e=\frac{c}{a}$.

Relación fundamental del elipse

$a^2=b^2+c^2$