Definiciones básicas de números complejos

Course: Algebra II

Conjunto de Números Complejos

El conjunto de números complejos es un conjunto matemático que incluye todos los números de la forma $a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria, que se define como la raíz cuadrada de $-1$. Formalmente, el conjunto de números complejos se denota por $\mathbb{C}$ y se define como:

$\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in \mathbb{R}\}$

Los números complejos se pueden representar en el plano complejo, que es un plano cartesiano en el que el eje horizontal representa la parte real de un número complejo y el eje vertical representa la parte imaginaria de un número complejo. La representación gráfica de un número complejo en el plano complejo se llama forma rectangular o forma binómica.

Adición y multiplicación de Números Complejos

• Adición: La suma de dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ se define como $(a+c)+(b+d)i$. Es decir, se suman las partes reales y las partes imaginarias por separado.
• Multiplicación: El producto de dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ se define como $(ac-bd)+(ad+bc)i$. Es decir, se multiplican los términos correspondientes y se suman las partes reales e imaginarias por separado.

Inverso aditivo y multiplicativo de Números Complejos

• El inverso aditivo de un número complejo $a+bi$ es el número complejo $-a-bi$, que al sumarse con el número complejo original da como resultado el elemento neutro de la adición, que es $0+0i$. Es decir, $a+bi+(-a-bi)=0+0i$.
• El inverso multiplicativo de un número complejo $a+bi$ es el número complejo $\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$, que al multiplicarse con el número complejo original da como resultado el elemento neutro de la multiplicación, que es $1+0i$. Es decir, $(a+bi)(\frac{a-bi}{a^2+b^2})=1+0i$.

Definición de sustracción y división de Números Complejos

• Sustracción: La diferencia de dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ se define como $(a-c)+(b-d)i$. Es decir, se restan las partes reales y las partes imaginarias por separado.
• División: El cociente de dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ se define como $\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$. Es decir, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se simplifica.