Método Numérico de Heun

El método de Heun, también conocido como el método del trapecio, es un método numérico utilizado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Es un método de tipo predictor-corrector y es parte de la familia de métodos Runge-Kutta.

Dada una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con una condición inicial:

$\frac{dy}{dt}=f(t,y),y(t_0)=y_0$

El método de Heun se puede describir en dos pasos:

1. Predicción: Se realiza una predicción inicial de la solución utilizando el método de Euler:

${\tilde{y}}_{n+1}=y_n+h\cdot f(t_n,y_n)$

2. Corrección: Se corrige la predicción utilizando el promedio de las pendientes al inicio y al final del intervalo:

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},{\tilde{y}}_{n+1})\right]$

donde:

• $y_{n+1}$ es el valor aproximado de $y$ en el tiempo $t_{n+1}$,
• $y_n$ es el valor aproximado actual de $y$,
• ${\tilde{y}}_{n+1}$ es la predicción inicial de $y$ en el tiempo $t_{n+1}$,
• $h$ es el tamaño del paso (una pequeña cantidad de tiempo),
• $f(t_n,y_n)$ es el valor de la función que define la EDO en el punto actual $(t_n,y_n)$,
• $f(t_{n+1},{\tilde{y}}_{n+1})$ es el valor de la función que define la EDO en el punto predicho $(t_{n+1},{\tilde{y}}_{n+1})$.

En cuanto a los errores:

1. Error de Truncamiento: Este error surge debido a la aproximación que se hace al resolver la ecuación diferencial. En el caso del método de Heun, se aproxima la derivada de una función por una diferencia finita. Esta aproximación introduce un error porque se ignora la contribución de los términos de orden superior. Este error puede controlarse reduciendo el tamaño del paso $h$, pero esto a su vez aumentará el número total de pasos y por lo tanto el tiempo de cálculo.

2. Error de Redondeo: Este error es inherente a la representación finita de los números en una computadora. Dado que las computadoras no pueden representar todos los números reales con precisión infinita, se producen errores de redondeo cuando se realizan operaciones aritméticas. Estos errores pueden acumularse durante los cálculos y afectar la precisión del resultado final. El manejo de estos errores es un desafío en el análisis numérico y depende en gran medida del sistema numérico utilizado (por ejemplo, precisión simple o doble) y del cuidado con el que se implementen los algoritmos.