Integrales curvilíneas en campos escalares

Análisis matemático II

Date: February 13, 2023 8:13 PM Status: Done Year: 2022

• Cómo se define una curva parametrizada?

  Sea la función $f$ tal que

  $$\begin{gathered} f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n \\ t\mapsto (f_1(t),\dots ,f_n(t)) \end{gathered}$$

  continua en $I=[a,b]$ ó $I=\mathbb{R}$ ó $I=[a,\infty )$ ó $I=(-\infty ,b]$ la imagen de $f$ se llama curva en ${\mathbb{R}}^n$. Luego, una curva en ${\mathbb{R}}^n$ es

  $$\gamma =f(I)=\{(f_1(t),\dots ,f_n(t))\in R^n:t\in I\}$$

  Decimos que $\gamma$ es la curva parametrizada de $f$

• Cómo se define una curva simple?

  • Es una curva simple si la función $f$ es inyectiva

  Sea $\gamma =f([a,b])\subset \mathbb{R}$ una curva. Decimos que $\gamma$ es simple sii $f$ es inyectiva en $[a,b)$. Es decir

  $$\forall t_1,t_2\in [a,b)f(t_1)=f(t_2)\Rightarrow t_1=t_2$$

• Cómo se define una curva cerrada?

  • Es una curva cerrada si la función $f$ no es inyectiva

  Sea $\gamma =f([a,b])\subset \mathbb{R}$ una curva. Decimos que $\gamma$ es cerrada sii $f(a)=f(b)$

  • Observación: Una curva cerrada es aquella en donde el punto inicial coincide con el punto final.

• Cómo se define la longitud de una curva?

  Sea $\gamma =f([a,b])\subset {\mathbb{R}}^n$ una curva simple, fon $f^{\prime }$ continua en $(a,b)$. Se define la longitud de $\gamma$ como

  $$l(\gamma )={\int }_a^b||f^{\prime }(t)||dt$$

• Cómo se define una curva regular?

  La curva $\gamma =f([a,b])\subset \mathbb{R}$ se dice regular sii $f$ cumple con

  1. $f$ continua en $[a,b]$
  2. $f^{\prime }$ continua en $(a,b)$
  3. $\forall t\in (a,b)f^{\prime }(t)\ne \theta$
  💡 En todo punto de una curva regular está determinada su dirección por el vector tangente a la misma en dicho punto. La curva regula tiene en todos sus puntos recta tangente, y esta varía con continuidad cuando nos desplazamos sobre la curva. **No tendrá puntas.**

• Qué es una curva regular a trozos?

  • Regular a trozos

    • Se dice regular a trozo sii se puede descomponer en un número finito de arcos regulares

      

  • Si $\gamma =f([a,b])$ es regular $\Rightarrow$ $\gamma$ tiene longitud

• Cómo se define $-\gamma$?

  Sea la función $f$

  $$\begin{gathered} f:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3 \\ t\mapsto (x(t),y(t),z(t)) \end{gathered}$$

  Llamamos $-\gamma$ al argo parametrizado por

  $$\begin{gathered} g:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3 \\ t\mapsto f(a+b-t)=(x(a+b-t),y(a+b-t),z(a+b-t)) \end{gathered}$$

  Además, se puede probar que:

  1. $f([a,b)]=g([a,b)]$
  2. $f(a)=g(a)$ y $f(b)=g(b)$

  

• Cómo se define una integral curvilínea?

  Sea $\gamma =f([a,b])$ una curva regular y simple, tal que $\gamma \subset D\subset {\mathbb{R}}^n$ y $D$ es un abierto conexo. Sea el campo escalar continuo en $F:D\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$. Se define la integral curvilínea del campo escalar $F$ a lo largo de $\gamma$ como sigue:

  $${\int }_{\gamma }F(P)ds={\int }_a^{b}F(f(t))||f^{\prime }(t)||dt$$

  • Podemos ademas calcular una integral curvilínea a trozos