Parámetros de una distribución de probabilidad
Valor esperado de una variable aleatoria (Esperanza matemática, media poblacional)
Cómo se define el valor esperado de una variable aleatoria? ?
Definición de valor esperado
Sea una variable aleatoria continua con función de distribución . El valor esperado de se define como
- Esta integral no siempre existe, y en tal caso se dirá que la variable aleatoria no tiene esperanza
- Si repito un experimento un número infinito de veces, que es lo que se espera que ocurra. El promedio se acercará cada vez más a ese valor esperado.
Propiedades del Valor Esperado
Cuáles son las propiedades del valor esperado? ?
- Si , donde es una constante. Entonces
- Si se observa que esta variable aleatoria consta de un solo valor , es decir que su masa se concentra en un punto
- Si es constante, y es una variable aleatoria, entonces
- Se deduce que
- LINEALIDAD DE LA ESPERANZA
- Se deduce que
- Sean , variables aleatorias cuyas esperanzas con existen. Entonces
- Sean una variable aleatoria bidimensional y además e son independientes. Entonces
Esperanza de una función de una variable aleatoria
Si es una variable aleatoria cuya función de distribución (caso discreto) o (caso continuo), entonces la esperanza de cualquier función se puede determinar aplicando la definición de esperanza de la distribución como sigue:
- Considera se determina la distribución de probabilidades de , y entonces se determina aplicando las definiciones vistas para esperanza de una variable aleatoria.
Varianza de una variable aleatoria
Cómo se define la varianza de una variable aleatoria? ?
Varianza de una v. aleatoria
Sea una variable aleatoria. Definimos la varianza de , que se denota ó del siguiente modo:
- Conceptualmente, es la dispersión que tiene la variable aleatoria con respecto al valor esperado
- La raíz cuadrada positiva de se llama desvío estándar de y se designa con
- Puesto que el desvío posee la misma unidad que la epseranza, se utiliza este último
- Como es el valor esperado de la variable aleatoria resulta que
Enuncia el teorema sobre el cálculo de la varianza de una variable aleatoria. ?
Teorema
Enuncie el teorema de la esperanza de una función de una variable aleatoria. ?
Teorema: Esperanza de una función de una variable aleatoria
Sea una variable aleatoria continua en es una función de la variable aleatoria , y es la función de distribución de , entonces
Enuncie las propiedades sobre la varianza de una variable aleatoria. ?
- si y solo si
- Sea una constante, entonces
- Si es una constante. Entonces
- Si es una variable aleatoria bidimensional y e son independientes. Entonces:
- Si es una variable aleatoria bidimensional y e son independientes y son constantes. Entonces: