Método Numérico de Euler

El método de Euler es un método numérico simple y directo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con una condición inicial dada. Es el método más básico de la familia de métodos Runge-Kutta.

Dada una EDO de primer orden con una condición inicial:

$\frac{dy}{dt}=f(t,y),y(t_0)=y_0$

El método de Euler proporciona una solución aproximada de la ecuación diferencial avanzando en pequeños pasos. En cada paso, la pendiente de la solución se aproxima por la pendiente de la función en el punto actual, y se utiliza para extrapolar la solución al siguiente paso.

La fórmula del método de Euler es:

$y_{n+1}=y_n+h\cdot f(t_n,y_n)$

donde:

• $y_{n+1}$ es el valor aproximado de $y$ en el tiempo $t_{n+1}$,
• $y_n$ es el valor aproximado actual de $y$,
• $h$ es el tamaño del paso (una pequeña cantidad de tiempo),
• $f(t_n,y_n)$ es el valor de la función que define la EDO en el punto actual $(t_n,y_n)$.

Este método es fácil de implementar pero no siempre es el más preciso. Para problemas más complejos o cuando se necesita una mayor precisión, se utilizan métodos más avanzados como los métodos Runge-Kutta de orden superior.

Errores en el método de Euler

En la solución numérica de ecuaciones diferenciales, como en el método de Euler, se pueden presentar dos tipos principales de errores: el error de truncamiento y el error de redondeo.

1. Error de Truncamiento: Este error surge debido a la aproximación que se hace al resolver la ecuación diferencial. En el caso del método de Euler, se aproxima la derivada de una función por una diferencia finita. Esta aproximación introduce un error porque se ignora la contribución de los términos de orden superior. En términos matemáticos, si tienes una función $f(t,y)$ que puedes expandir en una serie de Taylor, al ignorar los términos de segundo orden y superiores, introduces un error de truncamiento. Este error puede controlarse reduciendo el tamaño del paso $h$, pero esto a su vez aumentará el número total de pasos y por lo tanto el tiempo de cálculo.
2. Error de Redondeo: Este error es inherente a la representación finita de los números en una computadora. Dado que las computadoras no pueden representar todos los números reales con precisión infinita, se producen errores de redondeo cuando se realizan operaciones aritméticas. Estos errores pueden acumularse durante los cálculos y afectar la precisión del resultado final. El manejo de estos errores es un desafío en el análisis numérico y depende en gran medida del sistema numérico utilizado (por ejemplo, precisión simple o doble) y del cuidado con el que se implementen los algoritmos. Ambos tipos de errores son importantes y deben tenerse en cuenta al implementar y utilizar métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.