Backpropagation

El algoritmo de Backpropagation (propagación hacia atrás) es un método utilizado en redes neuronales artificiales para entrenar los pesos de las conexiones entre neuronas. Es una técnica de optimización basada en el descenso por gradiente que permite ajustar los pesos de manera eficiente para minimizar el error de predicción. Este algoritmo es fundamental en el aprendizaje supervisado de redes neuronales profundas, como el Perceptrón Multicapa (MLP).

El objetivo principal del algoritmo es reducir la función de costo al calcular los gradientes de los pesos con respecto al error, propagando el error hacia atrás desde la capa de salida hasta la capa de entrada.

Funcionamiento

El algoritmo de Backpropagation consta de dos fases principales:

1. Propagación hacia adelante (Forward Propagation): En esta fase, la red neuronal calcula las predicciones para un conjunto de datos de entrada.
2. Propagación hacia atrás (Backpropagation): En esta fase, el error de las predicciones es calculado y luego se propaga hacia atrás a través de la red para actualizar los pesos.

1. Propagación hacia Adelante (Forward Propagation)

Durante la propagación hacia adelante, el algoritmo toma los datos de entrada y los pasa a través de cada capa de la red neuronal. El valor de salida de cada neurona se calcula como una suma ponderada de sus entradas más un sesgo (bias):

$$z_j=\sum _i{w}_{ij}{x}_i+b_j$$

Donde:

• $z_j$ es la entrada a la neurona $j$,
• $w_{ij}$ son los pesos de las conexiones entre la neurona$i$y la neurona $j$,
• $x_i$ es la salida de la neurona $i$ (o la entrada a la red para la primera capa),
• $b_j$ es el sesgo de la neurona $j$.

La salida de la neurona se obtiene al aplicar una función de activación$f$:

$$a_j=f(z_j)$$

2. Función de Costo

La función de costo mide el error entre las salidas predichas por la red y las salidas esperadas (etiquetas de los datos). Para problemas de regresión, una función de costo común es el Error Cuadrático Medio (MSE):

$$J(W,b)=\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n{\left({\hat{y}}_i-y_i\right)}^2$$

Donde:

• ${\hat{y}}_i$ es la predicción para la entrada $i$,
• $y_i$ es el valor real esperado,
• $n$ es el número total de ejemplos en el conjunto de entrenamiento.

El objetivo del entrenamiento es minimizar esta función de costo ajustando los pesos$W$y los sesgos$b$.

3. Propagación hacia Atrás (Backpropagation)

3.1. Cálculo del Error en la Capa de Salida

El primer paso en la propagación hacia atrás es calcular el error en la capa de salida. Si$a_k$es la salida de la neurona$k$en la capa de salida y$y_k$es el valor real, entonces el error se calcula como:

$${\delta }_k=\frac{\partial J}{\partial z_k}=(a_k-y_k)f^{\prime }(z_k)$$

Donde$f^{\prime }(z_k)$es la derivada de la función de activación aplicada en la neurona$k$.

3.2. Propagación del Error hacia Capas Anteriores

El siguiente paso es propagar este error hacia las capas anteriores utilizando la regla de la cadena. El error para la neurona$j$en una capa oculta es:

$${\delta }_j=\left(\sum _k{\delta }_k{w}_{kj}\right)f^{\prime }(z_j)$$

Donde: -${\delta }_k$es el error en la siguiente capa, -$w_{kj}$es el peso de la conexión entre la neurona$j$y la neurona$k$, -$f^{\prime }(z_j)$es la derivada de la función de activación en la neurona$j$.

3.3. Actualización de los Pesos

Una vez calculados los errores, se utilizan para ajustar los pesos y los sesgos mediante el descenso por gradiente. Los pesos se actualizan de acuerdo con la siguiente fórmula:

$$w_{ij}^{(t+1)}=w_{ij}^{(t)}-\eta \frac{\partial J}{\partial w_{ij}}$$

Donde: -$\eta$es la tasa de aprendizaje, -$\frac{\partial J}{\partial w_{ij}}$es el gradiente del error con respecto al peso$w_{ij}$, -$t$representa la iteración actual.

El sesgo se actualiza de manera similar:

$$b_j^{(t+1)}=b_j^{(t)}-\eta \frac{\partial J}{\partial b_j}$$

4. Repetición del Proceso

El proceso de propagación hacia adelante y hacia atrás se repite para todos los ejemplos del conjunto de entrenamiento durante múltiples épocas hasta que el error sea suficientemente bajo o se cumpla algún criterio de convergencia.

Ventajas del Algoritmo de Backpropagation

1. Eficiencia Computacional: El algoritmo utiliza la regla de la cadena para calcular los gradientes de manera eficiente, lo que lo hace viable para entrenar redes neuronales profundas.
2. Aplicabilidad Universal: Funciona bien con diferentes arquitecturas de redes neuronales y puede optimizar redes profundas con múltiples capas ocultas.
3. Generalización: Aunque requiere un ajuste cuidadoso de los hiperparámetros, como la tasa de aprendizaje, Backpropagation permite a las redes neuronales generalizar bien en muchos problemas complejos.

Limitaciones del Algoritmo de Backpropagation

1. Sobreajuste: Si la red es demasiado compleja (demasiadas capas o neuronas) o si se entrena durante demasiadas épocas, puede ajustarse demasiado a los datos de entrenamiento, lo que reduce su capacidad para generalizar a nuevos datos.
2. Sensibilidad a la Inicialización de Pesos: La calidad de los resultados depende de la inicialización adecuada de los pesos. Una mala inicialización puede llevar a una convergencia lenta o a quedar atrapado en mínimos locales.
3. Vanishing Gradient Problem: En redes profundas, las derivadas de las funciones de activación como la sigmoide pueden ser muy pequeñas, lo que causa que los gradientes disminuyan exponencialmente a medida que se propagan hacia atrás. Esto puede hacer que el entrenamiento sea extremadamente lento en las primeras capas de la red.